You can Download Samacheer Kalvi 12th Maths Book Solutions Guide Pdf, Tamilnadu State Board help you to revise the complete Syllabus and score more marks in your examinations.
Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3
Question 1.
If z1 = 1 – 3i, z2 = -4i, and z3 = 5, show that
(i) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(ii) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Solution:
(i) Given z1 = 1 – 3i, z2 = -4i, z3 = 5
z1 + z2 = (1 – 3i) + (-4i) = 1 – 7i
(z1 + z2) + z3 = 1 – 7i + 5 = 6 – 7i ……..(1)
z2 + z3 = (-4i) + (5) = 5 – 4i
z1 + (z2 + z3) = (1 – 3i) + (5 – 4i)
= 6 – 7i ………. (2)
From (1) and (2)
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
Hence proved.
(ii) z1 z2 = (1 – 3i) (-4i)
= -4i – 12i²
= -12 – 4i
(z1 z2)z3 = (-12 – 4i)(5)
= – 60 – 20 i …………. (1)
z2 z3 = (-4i) (5) = -20 i
z1(z2 z3) = (1 – 3i) (-20i) = – 20i + 60 i²
= -60 – 20 i …………. (2)
∴ from 1 and 2
(z1 z2)z3 = z1(z2 z3)
Question 2.
If z1 = 3, z2 = -7i, and z3 = 5 + 4i, show that
(i) z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
(ii) (z1 z2) z3 = z1 z3 + z2 z3
Solution:
(i) z1 = 3, z2 = -7i, z3 = 5 + 4i
z1 (z2 + z3) = 3 (-7i + 5 + 4i)
= 3 (5 – 3i)
= 15 – 9i …… (1)
z1 z2 + z1 z3 = 3 (-7i) + 3 (5 + 4i)
= -21i + 15 + 12i
= 15 – 9i …… (2)
from (1) & (2), we get
∴ z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
(ii) (z1 + z2) z3 = (3 – 7i) (5 + 4i)
= 15 + 12i – 35i – 28 i2
= 15 – 23i + 28
= 43 – 23i ……. (1)
z1 z3 + z2 z3 = 3(5 + 4i) – 7i(5 + 4i)
= 15 + 12i – 35i – 28 i2
= 15 – 23i + 28
= 43 – 23i ….. (2)
from (1) & (2), we get
∴ (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3
Question 3.
If z1 = 2 + 5i, z2 = -3 – 4i, and z3 = 1 + i, find the additive and multiplicative inverse of z1, z2, and z3.
Solution:
z1 = 2 + 5i
(а) Additive inverse of z1 = -z1 = -(2 + 5i) = -2 – 5i
(b) Multiplicative inverse of
\(z_{1}=\frac{1}{z_{1}}=\frac{1}{2+5 i} \times \frac{2-5 i}{2-5 i}=\frac{(2-5 i)}{4+25}=\frac{2-5 i}{29}\)
z2 = -3 – 4i
(a) Additive inverse of z2 = -z2 = -(-3 – 4i) = 3 + 4i
(b) Multiplicative inverse of
\(z_{2}=\frac{1}{z_{2}} \frac{1}{-3-4 i} \times \frac{-3+4 i}{-3+4 i}=\frac{-3+4 i}{9+16}=\frac{-3+4 i}{25}\)
z3 = 1 + i
Additive inverse z3 is -z3
⇒ -(1 + i) = -1 – i
Multiplicative inverse z3 is (z3)-1
We know
z3 z3-1 = 1
⇒ (1 + i) (u + iv) = 1 [∵ z3-1 = u + iv]
u + iv + iu – v = 1
(u – v) + i (u + v) = 1 + i 0
Equating real and imaginary parts
u – v = 1
u + v = 0
Solving them, we get u = \(\frac {1}{2}\) and v = –\(\frac {1}{2}\)
∵ z3-1 = \(\frac {1}{2}\) (1 – i)
Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3 Additional Problems
Question 1.
If z1 = 4 – 7i, z2 = 2 + 3i and z3 = 1 + i show that.
(i) z1 + (z2 + z3) = (Z1 + z2) + Z3
(ii) (Z1 z2) z3 = Z1 (z2 z3)
Solution:
(i) Z1 + (z2 + z13) = 4 – 7i + (2 + 3i + 1 + i) = 4 – 7i + (3 + 4i) = 7 – 3i
(z1 + z2) + z3 = (4 – 7i + 2 + 3i) + (1 + i) = (6 – 4i) + (1 + i)
= 7 – 3i …(2)
From (1) and (2) we get, z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3
(ii) (z1z2) z3 = (4 – 7i) + (2 + 3i) (1 + i) = (8 + 12i – 14 i + 21) (1 + i)
= (29 – 2i)(1 + i) = 29 + 29i – 2i + 2
= 31 + 27i ….(1)
Z1 (z2z3) = (4 – 7i) [(2 + 3i) (1 + i)] = 4 – 7i [2 + 2i + 3i – 3]
= 4 – 7i[5i – 1] = 20i – 4 + 35 + 7i
= 31 + 27i …(2)
From (1) and (2) we get, (Z1Z2) z3 = z1 (z2z3)
Question 2.
Given z1 = 1 + i, z2 = 4 – 3i and z3 = 2 + 5i verify that.
Z1(Z2 Z3) = Z1 Z2 – z1z3
Solution:
Z1 = 1 + i,
z2 = 4 – 3i,
z3 = 2 + 5i
Z1 (z2 – z3) = 1 + i[(4 – 3i) – (2 + 5i)] = 1 + i[2 – 8i] = 2 – 8i + 2i + 8
= 10 – 6i …(1)
Z1 z2 = (1 + i) (4 – 3i) = 4 – 3i + 4i + 3 = 7 + i
Z1Z3= (1 + i) (2 + 5i) = 2 + 5i + 2i – 5 = 7i – 3
Z1Z2 – Z1 z3 = 7 + i – (7i – 3) = 7 + i – 7i + 3
= 10 – 6i …(2)
From (1) and (2) we get, Z1 (z2 – z3) = z1 z2 – z1 z3
Question 3.
Given z1 = 4 – 7i and z2 = 5 + 6i find the additive and multiplicative inverse of z1 + z2 and Z1 – Z2.
Solution:
Z1 = 4 – 7i, z2 = 5 + 6i
Z1 + z2 = 4 – 7i + 5 + 6i = 9 + i
Additive inverse of z1 + z2 = -(z1 + z2) = -(9 – i) = i – 9
