Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3

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Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3

Question 1.
If z1 = 1 – 3i, z2 = -4i, and z3 = 5, show that
(i) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(ii) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Solution:
(i) Given z1 = 1 – 3i, z2 = -4i, z3 = 5
z1 + z2 = (1 – 3i) + (-4i) = 1 – 7i
(z1 + z2) + z3 = 1 – 7i + 5 = 6 – 7i ……..(1)
z2 + z3 = (-4i) + (5) = 5 – 4i
z1 + (z2 + z3) = (1 – 3i) + (5 – 4i)
= 6 – 7i ………. (2)
From (1) and (2)
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
Hence proved.

Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3

(ii) z1 z2 = (1 – 3i) (-4i)
= -4i – 12i²
= -12 – 4i
(z1 z2)z3 = (-12 – 4i)(5)
= – 60 – 20 i …………. (1)
z2 z3 = (-4i) (5) = -20 i
z1(z2 z3) = (1 – 3i) (-20i) = – 20i + 60 i²
= -60 – 20 i …………. (2)
∴ from 1 and 2
(z1 z2)z3 = z1(z2 z3)

Question 2.
If z1 = 3, z2 = -7i, and z3 = 5 + 4i, show that
(i) z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
(ii) (z1 z2) z3 = z1 z3 + z2 z3
Solution:
(i) z1 = 3, z2 = -7i, z3 = 5 + 4i
z1 (z2 + z3) = 3 (-7i + 5 + 4i)
= 3 (5 – 3i)
= 15 – 9i …… (1)
z1 z2 + z1 z3 = 3 (-7i) + 3 (5 + 4i)
= -21i + 15 + 12i
= 15 – 9i …… (2)
from (1) & (2), we get
∴ z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3

(ii) (z1 + z2) z3 = (3 – 7i) (5 + 4i)
= 15 + 12i – 35i – 28 i2
= 15 – 23i + 28
= 43 – 23i ……. (1)
z1 z3 + z2 z3 = 3(5 + 4i) – 7i(5 + 4i)
= 15 + 12i – 35i – 28 i2
= 15 – 23i + 28
= 43 – 23i ….. (2)
from (1) & (2), we get
∴ (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3

Question 3.
If z1 = 2 + 5i, z2 = -3 – 4i, and z3 = 1 + i, find the additive and multiplicative inverse of z1, z2, and z3.
Solution:
z1 = 2 + 5i
(а) Additive inverse of z1 = -z1 = -(2 + 5i) = -2 – 5i
(b) Multiplicative inverse of
\(z_{1}=\frac{1}{z_{1}}=\frac{1}{2+5 i} \times \frac{2-5 i}{2-5 i}=\frac{(2-5 i)}{4+25}=\frac{2-5 i}{29}\)

z2 = -3 – 4i
(a) Additive inverse of z2 = -z2 = -(-3 – 4i) = 3 + 4i
(b) Multiplicative inverse of
\(z_{2}=\frac{1}{z_{2}} \frac{1}{-3-4 i} \times \frac{-3+4 i}{-3+4 i}=\frac{-3+4 i}{9+16}=\frac{-3+4 i}{25}\)

z3 = 1 + i
Additive inverse z3 is -z3
⇒ -(1 + i) = -1 – i
Multiplicative inverse z3 is (z3)-1
We know
z3 z3-1 = 1
⇒ (1 + i) (u + iv) = 1 [∵ z3-1 = u + iv]
u + iv + iu – v = 1
(u – v) + i (u + v) = 1 + i 0
Equating real and imaginary parts
u – v = 1
u + v = 0
Solving them, we get u = \(\frac {1}{2}\) and v = –\(\frac {1}{2}\)
∵ z3-1 = \(\frac {1}{2}\) (1 – i)

Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3 Additional Problems

Question 1.
If z1 = 4 – 7i, z2 = 2 + 3i and z3 = 1 + i show that.
(i) z1 + (z2 + z3) = (Z1 + z2) + Z3
(ii) (Z1 z2) z3 = Z1 (z2 z3)
Solution:
(i) Z1 + (z2 + z13) = 4 – 7i + (2 + 3i + 1 + i) = 4 – 7i + (3 + 4i) = 7 – 3i
(z1 + z2) + z3 = (4 – 7i + 2 + 3i) + (1 + i) = (6 – 4i) + (1 + i)
= 7 – 3i …(2)
From (1) and (2) we get, z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

(ii) (z1z2) z3 = (4 – 7i) + (2 + 3i) (1 + i) = (8 + 12i – 14 i + 21) (1 + i)
= (29 – 2i)(1 + i) = 29 + 29i – 2i + 2
= 31 + 27i ….(1)
Z1 (z2z3) = (4 – 7i) [(2 + 3i) (1 + i)] = 4 – 7i [2 + 2i + 3i – 3]
= 4 – 7i[5i – 1] = 20i – 4 + 35 + 7i
= 31 + 27i …(2)
From (1) and (2) we get, (Z1Z2) z3 = z1 (z2z3)

Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3

Question 2.
Given z1 = 1 + i, z2 = 4 – 3i and z3 = 2 + 5i verify that.
Z1(Z2 Z3) = Z1 Z2 – z1z3
Solution:
Z1 = 1 + i,
z2 = 4 – 3i,
z3 = 2 + 5i
Z1 (z2 – z3) = 1 + i[(4 – 3i) – (2 + 5i)] = 1 + i[2 – 8i] = 2 – 8i + 2i + 8
= 10 – 6i …(1)
Z1 z2 = (1 + i) (4 – 3i) = 4 – 3i + 4i + 3 = 7 + i
Z1Z3= (1 + i) (2 + 5i) = 2 + 5i + 2i – 5 = 7i – 3
Z1Z2 – Z1 z3 = 7 + i – (7i – 3) = 7 + i – 7i + 3
= 10 – 6i …(2)
From (1) and (2) we get, Z1 (z2 – z3) = z1 z2 – z1 z3

Question 3.
Given z1 = 4 – 7i and z2 = 5 + 6i find the additive and multiplicative inverse of z1 + z2 and Z1 – Z2.
Solution:
Z1 = 4 – 7i, z2 = 5 + 6i
Z1 + z2 = 4 – 7i + 5 + 6i = 9 + i
Additive inverse of z1 + z2 = -(z1 + z2) = -(9 – i) = i – 9
Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3 1

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